Física no Cotidiano: Lei de Stefan

Lei de Stefan – Boltzmann

Ludwig Boltzmann (1844-1906) e Joseph Stefan (1805-1872).

O dois resultados concretos mais importantes da termodinâmica do corpo negro, na era pré-Planck, são as leis de Stefan-Boltzmann e Wien. As deduções dessas leis demarcam o limite do que foi possível alcançar usando-se apenas as ferramentas da termodinâmica e do eletromagnetismo clássico, sob a ignorância completa dos fenômenos quânticos. São resultados fabulosos que serviram como um ponto de partida bem estabelecido e seguro para a análise de resultados experimentais, bem como os trabalhos posteriores audaciosos e revolucionários de Planck e Einstein.

Em 1879 Josef Stefan observou experimentalmente que, a densidade de energia emitida por unidade de tempo e por unidade de área, por um corpo negro é proporcional à quarta potência da temperatura absoluta do corpo. Esta mesma relação foi teoricamente derivada pela teoria de Maxwell e pela termodinâmica clássica, em 1884, por Ludwig Boltzmann. Por isso é denominada lei de Stefan-Boltzmann.

Todavia, a termodinâmica clássica falhou, quando Lord Rayleigh e Sir James Jeans tentaram usar a teoria do eletromagnetismo para descrever a distribuição da densidade de energia existente em um corpo negro. Embora a teoria deles trabalhasse relativamente bem em baixas frequências, ela falhava ao ser aplicada a altas frequências, isto é, a intensidade divergia para o infinito! Este resultado inaceitável originou a catástrofe do ultravioleta, porque a luz ultravioleta era a radiação de frequência mais elevada daquele tempo.

A lei de Stefan-Boltzmann também é válida para os corpos conhecidos como corpos “cinza” (que apresenta o comportamento aproximado ao de um corpo negro), cuja superfície exibe um coeficiente de absorção menor do que 1,0 e independente do comprimento de onda. Além do mais tem aplicações terrestres etambém grande importância no campo astro físico, pois é capaz de medir várias propriedades físicas de corpos celestes afastados, uma vez que medi-las diretamente, seria impossível. Contudo, basta observar o espectro de radiação do corpo negro que é possível calcular propriedades físicas como a temperatura e emissão de energia desses distantes corpos.

A radiação térmica é a energia emitida por toda matéria que se encontra a uma temperatura finita. Fisicamente, a radiação é a emissão de ondas eletromagnéticas geradas dos átomos e moléculas excitadas da agitação térmica, que passam para o estado não excitado, emitindo fótons. O comprimento de onda desses fótons é inversamente proporcional a sua temperatura (quanto menor o comprimento de onda, maior a temperatura).

Cores quentes e frias.

O corpo humano também transmite energia. As áreas mais vermelhas indicam as regiões de maior emissão.

A radiação que é emitida por um objeto ocorre através de sua superfície. A taxa na qual a energia é transferida e denominada poder emissivo de superfície (E).

A lei de Stefan- Boltzmann prevê um limite superior para esse poder emissivo, dado pela expressão:

E_b = σ T⁴(1)

onde:

E = taxa de energia liberada por unidade de área [Wm^-2];

σ = constante de Stefan-Boltzmann: 5,67 . 10^-8 [Wm^-2K^-4];

T = temperatura da superfície [K].

Quando uma superfície emite neste limite superior, é conhecidda como emissor ideal ou corpo negro.

A equação (1) foi o que Stefan observou originalmente em 1879; para um corpo negro ideal, a radiação por unidade de área é proporcional à quarta potência da temperatura absoluta.

A taxa de emissão de energia de radiação de uma superfície real é menor do que a emitida por um corpo negro à mesma temperatura. Para acomodar esse fato na lei de Stefan-Boltzmann, introduz-se um termo conhecido como emissividade ε:

E_b = ε σT⁴ (2)

A emissividade é uma propriedade que fornece uma medida da capacidade de emissão de energia de uma superfície em relação ao corpo negro. Por isso 0 ≤ ε ≤ 1.

A emissividade é uma quantidade adimensional que como vimos acima, assume valores entre zero e um. Para uma superfície perfeitamente refletora ε = 0 (espelho perfeito) e para uma superfície perfeitamente absorvedora ε = 1 (corpo negro ideal). A emissão de radiação térmica de corpos que estão a temperaturas altas pode ser satisfatoriamente descrita pela equação (2).

A emissividade depende fortemente da superfície do material e de seu acabamento.

A equação (2) também pode ser escrita da seguinte maneira:

P = ε A σT⁴watts

P = potência irradiada por um corpo quente;

A = área da superfície do corpo irradiador.

Vejamos um exemplo prático, no qual a equação de Stefan – Boltzmann pode ser aplicada:

Exemplo: Se a área de um filamento de tungstênio de uma lâmpada de 100 W de potência é 0,26 cm² e sua emissividade é 0,36, qual será a temperatura do filamento:

Solução:

Primeiramente, vamos resolver a equação para T, uma vez que o que estamos procurando:

P/A = ε σ T⁴