Patinação
no Gelo
Todos
conhecem o clássico movimento de rodopio da patinação artística
no gelo, onde o patinador encolhe os braços e as pernas e a
velocidade aumenta tremendamente. Este é o resultado da conservação
do momento angular; quando o patinador reduz a sua
inércia rotacional encolhendo os braços e as pernas, fazendo com
sua velocidade aumente a fim de manter o momento angular constante. A
conservação do momento angular é um fenômeno físico bastante
presente nos movimentos de patinação no gelo.
Midori Ito, patinadora olímpica |
Patinadora Olímpica, Dorothy Hamill realizando um rodopio.
Conservação
do Momento Angular
O
momento angular caracteriza a resistência que um objeto tem em mudar
a sua rotação. A ideia básica é a mesma do momento linear: para
mover objetos, manter o seu movimento ou mudar o movimento deles,
temos que aplicar uma força. Se nenhuma força estiver presente,
então o momento não se modifica, isto é, ele é conservado. No
caso da rotação, essa força é chamada de torque: por exemplo,
quando você puxa corda em um pião, um torque é aplicado para
fazê-lo girar com velocidade, ou seja, seu momento angular aumenta,
porém após alguns segundos, ele diminui devido ao torque
friccional. Outro exemplo seria girar uma moeda sobre uma mesa. Ao
rodopiar no gelo, o atrito é muito pequeno, assim como o torque
aplicado ao corpo do patinador, conservando assim o seu momento
angular.
Inércia
Rotacional
Para
o movimento retilíneo, a inércia está relacionada com a massa do
objeto. No movimento rotacional algo mais deve ser levado em
consideração. É muito mais difícil fazer uma determinada massa m
girar em torno de um eixo, se ela estiver mais afastada do mesmo, do
que se estiver próxima a ele. A inércia rotacional ou o momento de
inércia, I, de um objeto de massa m, girando a uma
distância r em volta de um eixo (com a Terra em volta do Sol
ou uma pedra amarrada a uma corda) é dada pela expressão:
I
= mr2
Note
que a inércia rotacional aumenta com o quadrado da distância ao
eixo, então se você dobrar a distância de uma massa m ao
seu eixo de rotação, você estará quadruplicando o momento de
inércia dessa massa m. Isto explica porque uma mudança tão
pequena na posição dos braços e pernas do patinador exercem um
enorme efeito em sua velocidade rotacional.
Velocidade Rotacional
Outro
parâmetro do movimento rotacional é a velocidade rotacional ou
velocidade angular ω,
que é a taxa de rotação expressa em radianos por segundo (rad/s),
rotações por minuto (RPM) e outras unidades. Uma rotação completa
vale 2π
radianos, logo uma revolução por segundo em unidade de velocidade
angular é 2π rad/s.
Momento
Angular
Com
os conceitos de inércia rotacional e da velocidade angular, podemos
escrever a expressão para o momento angular L:
L
= I ω
Então,
se o momento angular é conservado (não se modifica) e um fator como
I
mudar, o outro fator (ω
nesse caso) tem que mudar
para compensar.
Exemplo:
A Patinadora no Gelo
Quando
a patinadora encolhe seus braços e pernas, ela reduz a distância
existente entre o eixo de rotação e um pouco de sua massa,
reduzindo assim, o seu momento de inércia. Uma vez que o seu momento
angular é conservado, sua velocidade angular deve aumentar para
compensar.
Podemos
estimar quanto a velocidade aumenta, estimando a mudança em sua
inércia rotacional.
Precisamos
determinar o momento de inércia Ia,
quando os braços e perna dela estão estendidos ( e ela gira
lentamente) e o momento de inércia quando os braços e perna dela
estão encolhidos, Ie
(e ela gira velozmente). Em uma primeira aproximação sobre a forma
da patinadora, seria considerá-la como um cilindro sólido
constituído da maior parte de sua massa mais três barras
represntando seus braços e uma perna. O momento de inércia do
tronco, It
é o mesmo em ambos
os casos e será dado por
½
Mt
r2
t
O
fator ½
aparece porque nem toda a massa da patinadora está a uma distância
rt
do eixo de rotação, em média está apenas a meia distância do
eixo.
Vamos
supor que uma típica patinadora olímpica tenha uma massa em torno
de 50 kg.
Suponhamos também que a massa de seu tronco e de sua perna sejam de
40 kg.
Finalmente, suponhamos também que um raio apropriado de nossa
patinadora, em forma cilíndrica seja de 0,1
m.
Isto significa que o momento de inércia de seu tronco, It
será de:
Com
os braços e a perna encolhidos, ela tem apenas uma massa extra de 10
kg a uma distância rt
do eixo de rotação. Então
vamos adicionar mr2
= 0,1 kgm2
para m
= 10 kg e r
= 0,1 m, a fim de
determinar Ie:
Ie
= It
+ mr2
= 0,2 + 0,1 = 0,3 kgm2
Quando
os braços e perna da patinadora estão distendidos, eles estão
afastados do eixo de rotação. Se os braços estão esticados, eles
terão um momento de inércia de ½
(2mb
. r2
b),
onde rb
é distância do eixo de rotação até as pontas dos dedos da
patinadora, que estimaremos em torno de 0,6
m. Se a perna dela estiver
esticada, a contribuição será de ½
mp r2
p.
Onde rp
é a distância da perna ap eixo de rotação, que vamos supor em
torno de 1,0 m.
Tudo que nos resta agora é decidir como dividir os 10
kg de massa os quais não
pertencem ao tronco entre o braço e a perna. Se supusermos que uma
perna seja aproximadamente igual a dois braços, então mp
= 5 kg e mb
= 2,5 kg. Com essas
estimativas, os braços contribuem com:
Ib
= ½ (5,0) 0,62
= 0,9 kgm2
E
as pernas contribuem com:
Ip
= ½ (5,0) 12
= 2,5 kgm2
Então:
Ie
= It
+ 2,5 + 0,9 = 0,2 + 2,5 + 0,9 = 3,6 kgm2
com
essa estimativa, vemos que o momento de inércia da patinadora é
muito maior quando os braços e perna dela estão esticados, tudo
devido ao fato de r2
depender de I.
Podemos
agora, estimar o quanto a velocidade dela aumenta ao encolher os
braços e a perna, aplicando a conservação do momento angular que
diz:
Lenc
= Lest
enc
= encolhidos; est = esticados.
Lenc
. ωenc
= Lest
. ωest
ωenc
/ ωest
= Iest
/ Ienc
= 12
Um
rodopio comum com os braços e pernas esticados pode chegar a 2
rotações por segundo. A estimativa acima nos diz que com os braços
e pernas encolhidos, pode-se chegar a 24 rotações por segundo! Se
você observar cuidadosamente o filme acima, poderá ver que esse
aumento é demasiado, mas lembre-se que esse cálculo foi baseado
apenas em estimativas, para ilustrar como a física é nesse caso
aplicada.
Saudações.
TOMATE CRU
ResponderExcluirExcelente conteúdo !
ResponderExcluirMuuito bom!
ResponderExcluirMe ajudou bastante,parabéns pela iniciativa!
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