Rotação de Um Corpo Rígido

Patinação no Gelo

Todos conhecem o clássico movimento de rodopio da patinação artística no gelo, onde o patinador encolhe os braços e as pernas e a velocidade aumenta tremendamente. Este é o resultado da conservação do momento angular; quando o patinador reduz a sua inércia rotacional encolhendo os braços e as pernas, fazendo com sua velocidade aumente a fim de manter o momento angular constante. A conservação do momento angular é um fenômeno físico bastante presente nos movimentos de patinação no gelo.

Midori Ito, patinadora olímpica

Patinadora Olímpica, Dorothy Hamill realizando um rodopio.

Conservação do Momento Angular

O momento angular caracteriza a resistência que um objeto tem em mudar a sua rotação. A ideia básica é a mesma do momento linear: para mover objetos, manter o seu movimento ou mudar o movimento deles, temos que aplicar uma força. Se nenhuma força estiver presente, então o momento não se modifica, isto é, ele é conservado. No caso da rotação, essa força é chamada de torque: por exemplo, quando você puxa corda em um pião, um torque é aplicado para fazê-lo girar com velocidade, ou seja, seu momento angular aumenta, porém após alguns segundos, ele diminui devido ao torque friccional. Outro exemplo seria girar uma moeda sobre uma mesa. Ao rodopiar no gelo, o atrito é muito pequeno, assim como o torque aplicado ao corpo do patinador, conservando assim o seu momento angular.

Inércia Rotacional

Para o movimento retilíneo, a inércia está relacionada com a massa do objeto. No movimento rotacional algo mais deve ser levado em consideração. É muito mais difícil fazer uma determinada massa m girar em torno de um eixo, se ela estiver mais afastada do mesmo, do que se estiver próxima a ele. A inércia rotacional ou o momento de inércia, I, de um objeto de massa m, girando a uma distância r em volta de um eixo (com a Terra em volta do Sol ou uma pedra amarrada a uma corda) é dada pela expressão:

I = mr²

Note que a inércia rotacional aumenta com o quadrado da distância ao eixo, então se você dobrar a distância de uma massa m ao seu eixo de rotação, você estará quadruplicando o momento de inércia dessa massa m. Isto explica porque uma mudança tão pequena na posição dos braços e pernas do patinador exercem um enorme efeito em sua velocidade rotacional.

  

Velocidade Rotacional

Outro parâmetro do movimento rotacional é a velocidade rotacional ou velocidade angular ω, que é a taxa de rotação expressa em radianos por segundo (rad/s), rotações por minuto (RPM) e outras unidades. Uma rotação completa vale 2π radianos, logo uma revolução por segundo em unidade de velocidade angular é 2π rad/s.

Momento Angular

Com os conceitos de inércia rotacional e da velocidade angular, podemos escrever a expressão para o momento angular L:

L = I ω

Então, se o momento angular é conservado (não se modifica) e um fator como I mudar, o outro fator (ω nesse caso) tem que mudar para compensar.

Exemplo: A Patinadora no Gelo

Quando a patinadora encolhe seus braços e pernas, ela reduz a distância existente entre o eixo de rotação e um pouco de sua massa, reduzindo assim, o seu momento de inércia. Uma vez que o seu momento angular é conservado, sua velocidade angular deve aumentar para compensar.

Podemos estimar quanto a velocidade aumenta, estimando a mudança em sua inércia rotacional.

Precisamos determinar o momento de inércia I_a, quando os braços e perna dela estão estendidos ( e ela gira lentamente) e o momento de inércia quando os braços e perna dela estão encolhidos, I_e (e ela gira velozmente). Em uma primeira aproximação sobre a forma da patinadora, seria considerá-la como um cilindro sólido constituído da maior parte de sua massa mais três barras represntando seus braços e uma perna. O momento de inércia do tronco, I_t é o mesmo em ambos os casos e será dado por

½ M_t r² _t

 

O fator ½ aparece porque nem toda a massa da patinadora está a uma distância r_t do eixo de rotação, em média está apenas a meia distância do eixo.

Vamos supor que uma típica patinadora olímpica tenha uma massa em torno de 50 kg. Suponhamos também que a massa de seu tronco e de sua perna sejam de 40 kg. Finalmente, suponhamos também que um raio apropriado de nossa patinadora, em forma cilíndrica seja de 0,1 m. Isto significa que o momento de inércia de seu tronco, I_t será de:

 

Com os braços e a perna encolhidos, ela tem apenas uma massa extra de 10 kg a uma distância r_t do eixo de rotação. Então vamos adicionar mr² = 0,1 kgm² para m = 10 kg e r = 0,1 m, a fim de determinar I_e:

I_e = I_t + mr₂ = 0,2 + 0,1 = 0,3 kgm²

Quando os braços e perna da patinadora estão distendidos, eles estão afastados do eixo de rotação. Se os braços estão esticados, eles terão um momento de inércia de ½ (2m_b . r² _b), onde r_b é distância do eixo de rotação até as pontas dos dedos da patinadora, que estimaremos em torno de 0,6 m. Se a perna dela estiver esticada, a contribuição será de ½ m_p r² _p. Onde r_p é a distância da perna ap eixo de rotação, que vamos supor em torno de 1,0 m. Tudo que nos resta agora é decidir como dividir os 10 kg de massa os quais não pertencem ao tronco entre o braço e a perna. Se supusermos que uma perna seja aproximadamente igual a dois braços, então m_p = 5 kg e m_b = 2,5 kg. Com essas estimativas, os braços contribuem com:

I_b = ½ (5,0) 0,6² = 0,9 kgm²

E as pernas contribuem com:

 

I_p = ½ (5,0) 1² = 2,5 kgm²

Então:

I_e = I_t + 2,5 + 0,9 = 0,2 + 2,5 + 0,9 = 3,6 kgm²

com essa estimativa, vemos que o momento de inércia da patinadora é muito maior quando os braços e perna dela estão esticados, tudo devido ao fato de r² depender de I.

Podemos agora, estimar o quanto a velocidade dela aumenta ao encolher os braços e a perna, aplicando a conservação do momento angular que diz:

L_enc = L_est

enc = encolhidos; est = esticados.

L_enc . ω_enc = L_est . ω_est

ω_enc / ω_est = I_est / I_enc = 12

Um rodopio comum com os braços e pernas esticados pode chegar a 2 rotações por segundo. A estimativa acima nos diz que com os braços e pernas encolhidos, pode-se chegar a 24 rotações por segundo! Se você observar cuidadosamente o filme acima, poderá ver que esse aumento é demasiado, mas lembre-se que esse cálculo foi baseado apenas em estimativas, para ilustrar como a física é nesse caso aplicada.

Saudações.